Votre première question est la suivante : Peut-on s'accouder sur une bibliothèque (planche de bois) d'un Beth Hamidrach ?
Réponse : Il est permis de mettre des objets profanes sur les étagères d'une bibliothèque contenant des Sifré Kodech-livres saints. Voir Guinzé Hakodech, chapitre 8, Halakha 18.
Donc, il est permis de s'y appuyer, puisqu'il ne s'agit pas d'une utilisation évoquant un mépris.
Votre seconde question : Et faire pendre son chapeau sur un clou planté sur la bibliothèque ?
Réponse : Il est permis d'accrocher son chapeau sur un clou enfoncé sur une bibliothèque contenant des Sifré Kodech-livres saints. Voir références précédentes.
Votre troisième question : Est-il permis de s'accouder sur la Téva ?
Réponse : S'il s'agit d'une Téva [Bima] où l'on pose un Séfer Torah Séfarade [le parchemin ne touche jamais la Téva], il est permis de s'y appuyer. Voir Guinzé Hakodech, chapitre 5, Halakha 16.
S'il s'agit d'une Téva [Bima] où l'on pose un Séfer Torah Ashkénaze [le parchemin touche la Téva], il est interdit de s'y appuyer. Voir Michna Broura, chapitre 141, passage 4 et chapitre 154, passage 10 ainsi que Guinzé Hakodech, chapitre 5, Halakha 16 et chapitre 1, Halakha 15 et 20.
S'il s'agit d'une Téva [Bima] où l'on pose un Séfer Torah Ashkénaze et que toujours, avant la lecture, on y pose une nappe : il est interdit de s'appuyer sur la nappe mais il est permis de s'appuyer sur la Bima lorsqu'il n'y a pas de nappe. Voir Michna Broura, chapitre 141, passage 4 et chapitre 154, passage 10, ainsi que Guinzé Hakodech, chapitre 5, Halakha 15.
Qu'Hachem vous protège et vous bénisse.